MFIN7049 · Module 10 · Calculation Sprint

综合计算题冲刺

这一页只保留考试里最值得练的三类计算题：估值、融资激励、风险溢价 / 信息推导。目标不是再讲一遍理论，而是把解题顺序、变量映射和最容易错的转折点压成考场模板。

  • Exam Fit: 30% calculation
  • 3 families only
  • Mode: 模板化冲刺
  • Final module
覆盖题型
  • Valuation：HW1
  • Financing incentives：HW2 Q1/Q3
  • Risk pricing / signal：HW2 Q2
模块编号：10 当前状态：完成主线 Next: git push

主题鸟瞰

计算题冲刺的关键不是多做，而是每种题只保留一套稳定模板，防止考场切题时变量乱套。

5 句顶层逻辑
估值题

所有估值题都在问一件事：未来 cash flow 今天公平值多少。三种方法 DCF / tracking / CE 是同一件事的三种写法。

融资激励题

这类题最容易错在目标函数。先看问的是 firm、equity 还是 entrepreneur，再比较 payoff。

风险溢价题

这类题不是纯代公式，而是先做 posterior update，再分开算 E(R~)、Rf 和 premium。

最值钱的动作

每题开始先写“已知什么、要求什么、先算哪一层”。这 10 秒通常能帮你省掉后面 5 分钟返工。

模板总表

考场上先套模板，再代数字。

Three Templates
模板 A：估值 
1. 先求 E(C~)
2. 再求 β_C or β_p
3. 得到 required return / CE
4. 算 PV
5. 再分 IRR, NPV, above/below SML
模板 B：融资激励 
1. 先算 benchmark / first best
2. 再由投资者 break-even 求 α or K
3. 比较 owner / equity / entrepreneur payoff
4. 检查 IC or mimicry
5. 最后写 inefficiency + wealth transfer
模板 C：风险溢价 
1. 先做 Bayesian update
2. 得 posterior mean m
3. 得 posterior variance v
4. 算 E(R~|signal)
5. 算 Rf
6. 最后求 premium and intuition

计算族 1：估值题

以 HW1 风格为核心，必须会在三种方法之间来回切换。

Valuation
模板公式 
DCF:
PV = E(C~) / [1 + k]
k = r_f + β_p(E(r_m~) - r_f)

Tracking:
b = Cov(C~, r_m~) / Var(r_m~)
a = [E(C~) - b(1 + E(r_m~))] / (1 + r_f)
PV = a + b

CE:
β_C = Cov(C~, r_m~) / Var(r_m~)
CE = E(C~) - β_C(E(r_m~) - r_f)
PV = CE / (1 + r_f)
高频提醒

最容易错的是把 β_C 直接代进 CAPM。CAPM 用的是 β_p，两者关系是 β_p = β_C / PV。

一题压缩版

若 E(C~)=120、r_f=5%、E(r_m~)=15%、β_C=20，且已知公平价格 PV=100。

β_p = β_C / PV = 20 / 100 = 0.2
k = 5% + 0.2(15%-5%) = 7%

DCF value using fair k:
PV = 120 / 1.07 ≈ 112.15

如果题目同时给项目实际投资成本 I=100，则： IRR = 120/100 - 1 = 20%，而 required return = 7%。这就是最经典的 IRR vs required return 分离。

计算族 2：融资激励题

这类题不是难在算术，而是难在别把 social optimum、firm value 和 equity payoff 写混。

Financing Incentives
模板公式 
Debt payoff = min(K, C~)
Equity payoff = max(C~ - K, 0)

Equity financing under MH:
hard payoff = (1-α)E(C~|H) - c
shirk payoff = (1-α)E(C~|L)

Debt financing under MH:
hard payoff = E[max(C~-K,0)|H] - c
shirk payoff = E[max(C~-K,0)|L]
一题压缩版：HW2 Q3 阈值

在讲义模型里， E(C~|H)=158，E(C~|L)=74，融资额 70。

Equity:
α = 70/158 = 35/79
c* = (1-α)(158-74)
   = 3696/79 ≈ 46.78

Debt:
0.75K + 0.25·32 = 70
K = 248/3

c* = 0.5(200-K)
   = 176/3 ≈ 58.67

结论：在这个 hidden-action 模型里，debt 支持高努力的成本区间更宽。

一题压缩版：risk shifting

给定债务面值 K 后，比较项目时不要再看 NPV，而应直接比较： E[max(C_A-K,0)] 和 E[max(C_B-K,0)]。这就是股东为什么可能转向更 risky 但总 NPV 更低的项目。

计算族 3：风险溢价 / 信息题

这类题关键不是 lognormal 本身，而是 posterior variance 变了什么。

Risk Pricing
模板公式 
Signal:
θ~ = r~ + e~,  e~ ~ N(0, σ²_θ)

Posterior mean:
m = μ + [σ² / (σ² + σ²_θ)](θ - μ)

Posterior variance:
v = σ²σ²_θ / (σ² + σ²_θ)

E(R~|θ) = exp(m + 0.5v)
ln R_f(θ) = m + 0.5(2η-1)v

premium:
ln E(R~|θ) - ln R_f(θ) = (1-η)v
一题压缩版：HW2 Q2 同构

若 μ=0.02、σ²=0.04、σ²_θ=0.04、η=0.7、θ=0.10。

β = 0.04 / 0.08 = 0.5
m = 0.02 + 0.5(0.10 - 0.02) = 0.06
v = 0.04×0.04 / 0.08 = 0.02

E(R~|θ) = exp(0.06 + 0.01) = exp(0.07)
ln R_f(θ) = 0.06 + 0.5(0.4)0.02 = 0.064
premium = 0.07 - 0.064 = 0.006

无信号时 premium 为 (1-η)σ² = 0.012，所以 signal 让 premium 减半。原因是 posterior variance 从 0.04 降到了 0.02。

最后一轮互动题

先自己写步骤，再展开答案核对，不要直接看结果。

3 calculations
Q1：若 C=150、r_f=4%、β_p=0.5、E(r_m~)=12%，求 required return 和 DCF 公平价格。 
k = 4% + 0.5(12%-4%) = 8%
PV = 150 / 1.08 ≈ 138.89
Q2：若项目在 high effort 与 shirk 下的 expected cash flow 分别为 140 和 100，外部股权比例 α=0.4，则能诱导高努力的最大 effort cost 是多少？ 
c* = (1-α)(140-100)
   = 0.6 × 40
   = 24
Q3：若 μ=0、σ²=0.09、σ²_θ=0.09、η=0.6，且 signal realization 恰好等于均值，所以 m=0。求 posterior variance 和 premium。 
v = 0.09×0.09 / 0.18 = 0.045
premium = (1-η)v = 0.4 × 0.045 = 0.018

这里故意让 posterior mean 不动，训练你看到 premium 仍会因为 variance 下降而变化。

即时反馈与错因

模块 10 的错法很少，但一旦错，通常都不是算错，而是先前的结构没立住。

Calculation diagnosis
如果你在估值题里乱掉

大概率是 β_C / β_p / PV / I 的映射没立住。先区分公平价格和实际成本，再分 IRR 与 required return。

如果你在融资题里乱掉

大概率是 目标函数 没立住。任何题都先写问的是 firm、equity、debt 还是 entrepreneur。

如果你在风险题里乱掉

大概率是 posterior mean / posterior variance 没分开。先更新信息，再算回报与溢价。

如果你总差一步

大概率是考场步骤太快。强制自己按模板写第一行，通常比分秒硬算更稳。

这页做完后，整套复习主线就闭环了：模块 1-8 打底，模块 9 压客观题，模块 10 压计算题。

Hard Mode：作业难度变形题

这一组不是再给你一遍模板题，而是要求你把两层逻辑叠在一起做。每题都更接近作业的风格：先算，再比较；或先识别目标函数，再决定该算哪一个 payoff。

Advanced drill
Hard 1：估值三法一致性 + mispricing

项目明日现金流为：boom 状态 160，recession 状态 80；两状态概率各半。市场组合 gross return 分别为 1.30 与 0.90，无风险 gross return 为 1.04。市场当前给这个项目报价 P=110。问：

1. 求 β_C、β_p、required return
2. 用 DCF 判断 110 是高估还是低估
3. 解释为什么 IRR 与 required return 在这题里不能混为一谈
展开思路 
E(C~) = 120
市场 net return 为 0.30 和 -0.10
E(r_m~) = 0.10

Cov(C~, r_m~)
= 0.5(160-120)(0.30-0.10) + 0.5(80-120)(-0.10-0.10)
= 8

Var(r_m~) = 0.5(0.20)^2 + 0.5(-0.20)^2 = 0.04
β_C = 8 / 0.04 = 200
β_p = β_C / P = 200 / 110 ≈ 1.818

k = 4% + 1.818(10%-4%) ≈ 14.91%
P* = 120 / 1.1491 ≈ 104.43

因此 110 > 104.43，当前价格偏高。若按 110 买入，则 IRR = 120/110 - 1 ≈ 9.09%，低于 required return。难点在于你必须同时维护 β_C、β_p、价格和 mispricing 的逻辑一致。

Hard 2：risk shifting 联合题

企业已有旧债，面值 K=90。现在股东可在两个项目中二选一，不需额外融资： 项目 A：0.5 概率得 180，0.5 概率得 100； 项目 B：0.5 概率得 240，0.5 概率得 40。 问 firm、debt、equity 分别偏好哪个项目？

展开思路 
Firm:
E(C_A) = 140
E(C_B) = 140
firm 在 risk-neutral 下无差异

Debt:
E[min(C_A,90)] = 90
E[min(C_B,90)] = 0.5×90 + 0.5×40 = 65
debt 更偏好 A

Equity:
E[max(C_A-90,0)] = 0.5×90 + 0.5×10 = 50
E[max(C_B-90,0)] = 0.5×150 + 0 = 75
equity 更偏好 B

这是典型“总价值不变，但风险重新分配”的题。高难点不在算数，而在你能不能同时把 firm、debt、equity 三个目标函数分开。

Hard 3：融资可行性 + 激励相容联合题

项目需要外部融资 I=80。若 entrepreneur 努力，现金流为 220 with prob 0.5, 100 with prob 0.5；若偷懒，现金流为 160 with prob 0.5, 60 with prob 0.5。努力成本为 c。比较股权融资与债务融资下，能支持高努力的最大 c。

展开思路 
Equity:
E(C|H)=160, E(C|L)=110
投资者 break-even: α = 80/160 = 0.5
high effort payoff = 0.5×160 - c = 80 - c
shirk payoff = 0.5×110 = 55
IC => 80 - c ≥ 55
c* = 25

Debt:
投资者 break-even:
0.5K + 0.5×100 = 80
K = 60

high effort payoff:
0.5(220-60) + 0.5(100-60) - c = 100 - c

shirk payoff:
0.5(160-60) + 0.5 max(60-60,0) = 50

IC => 100 - c ≥ 50
c* = 50

这题比标准 HW2 Q3 更硬，因为低状态正好碰到违约边界。真正的坑点是偷懒状态下第二项必须写成 max(C-K,0)，而不是直接线性外推。

Hard 4：信号精度比较题

已知 μ=0.02、σ²=0.09、η=0.75。比较两种信号制度： A：σ²_θ = 0.09； B：σ²_θ = 0.03。 若两种情况下信号 realization 都是 θ=0.08，求 posterior mean、posterior variance 和 premium，并判断哪种制度下价格更“信息充分”。

展开思路 
制度 A:
w_A = 0.09 / 0.18 = 0.5
m_A = 0.02 + 0.5(0.08-0.02) = 0.05
v_A = 0.09×0.09 / 0.18 = 0.045
premium_A = (1-0.75)×0.045 = 0.01125

制度 B:
w_B = 0.09 / 0.12 = 0.75
m_B = 0.02 + 0.75(0.08-0.02) = 0.065
v_B = 0.09×0.03 / 0.12 = 0.0225
premium_B = 0.25×0.0225 = 0.005625

制度 B 下 posterior mean 更靠近信号 realization，posterior variance 更低，所以价格更贴近 fundamentals，risk premium 也更小。作业型题目常继续追问：“为什么更多信息可能既推高价格，又压低 expected excess return？”

收尾

整套 HTML 复习站到这里就完成了。

Done

现在你可以按两种方式使用这套内容：一是从模块 1 顺着复习到模块 10；二是临考前只刷模块 9 和模块 10，再回跳到自己薄弱的专题页。

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